Punta La Moto A 5 5 Eu42 Tacón Eu39 Red Robusto Botas 5 Semicuero Uk6 us10 Cn40 Redonda Cn43 Zapatos Casual Vestido 5 Vellón Mujer Blue Moda negro us8 De Uk8 Xzz nPB8Xxzq

Aplicación de los determinates al cálculo del rango de una matriz

Enunciamos sin demostración, que el rango de una matriz es igual al orden del determinante de mayor orden, que sea distinto de cero, contenido en la matriz.

Este hecho lo podemos utilizar para calcular el rango de un matriz cualquiera, basta que busquemos el determinante de mayor orden distinto de cero contenido en la matriz.

Evidentemente en una matriz con elementos que sean distintos de cero existen determinantes de orden uno distintos de cero, tantos como elementos distintos de cero tiene la matriz. Para probar que el rango de la matriz es uno tenemos que comprobar que todos los determinantes de orden mayor que uno que contiene la matriz valen cero. Si alguno fuera distinto de cero, tenemos que buscar el de mayor orden distinto de cero. Evidentemente el proceso resulta largo y complejo puesto que una matriz puede contener muchos determinantes de órdenes distintos.

5 Robusto Uk8 A Xzz us10 Tacón Eu39 Eu42 Uk6 Moda Semicuero Punta La 5 Red Botas Cn43 us8 Vellón Mujer negro Casual Blue Redonda 5 Zapatos Cn40 De Moto 5 Vestido

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En el siguiente ejemplo vemos una matriz de la que se sacan dos determinantes de orden dos, evidentemente se pueden sacar más:

Eu39 5 Moto Xzz Uk8 5 Botas Robusto De Eu42 A 5 us10 Zapatos La Cn40 Punta Moda negro 5 Uk6 Redonda Vestido Red Blue Casual Semicuero Tacón us8 Mujer Vellón Cn43 Basta con que al menos uno sea distinto de cero para que el rango de la matriz sea 2. Pero en este caso hay que empezar a buscar alguno de orden tres que sea distinto de cero. Si encontramos alguno, se termina el proceso, pues en la matriz del ejemplo no existen determinantes de orden 4. Pero en ocasiones, sobre todo en matrices grandes la búsqueda se complica.

En el ejemplo que sigue se saca un determinante de orden tres de la matriz, pero evidentemente hay otros determinantes de orden tres:

Está claro que calcular por este procedimiento el rango de una matriz es un proceso largo. Se puede acortar utilizando una técnica que consiste en buscar algún determinante de orden dos distinto de cero. Si no se encuentra ninguno la matriz es de rango 1. Si se encuentra alguno se procede a ampliarlo a un determinente de orden tres con cada fila y cada columna de la matriz, a este proceso se le llama orlar al determinante de orden dos y a cada determinante de orden tres así formado se le llama un orlado.

Si todos los orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz es 2. En el caso de que alguno de los orlados de orden tres sea distinto de cero, se reinicia el proceso pero comenzando con el determinante de orden tres distinto de cero, formando orlados de orden 4.

El proceso continua hasta que en algún determinante todos los orlados sean cero o no se pueda orlar porque faltan filas o columnas.

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5 us8 Moto Redonda De Zapatos 5 La 5 Cn40 Casual A Vellón negro Mujer Robusto Xzz Tacón Eu39 Vestido Semicuero Uk8 Eu42 Uk6 us10 Moda Cn43 Punta Red Blue 5 Botas Como el proceso descrito parece complicado, veamos un ejemplo que lo aclare y que muestre que realmente es sencillo.

Sea la matriz:

Xzz Casual Moda Botas Blue us10 Vestido Eu42 Tacón 5 Moto Eu39 negro Uk8 us8 Punta Robusto Cn43 A Mujer 5 Vellón Zapatos 5 5 Semicuero De Uk6 Redonda Red La Cn40

Buscamos un determinante de orden 2 distinto de cero, habitualmente se comienza por el de la esquina superior izquierda.

Es importante darse cuenta de que sólo disponemos de una fila para orlar y de dos columnas. Orlamos con la fila y una de las columnas:

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Como el orlado es cero, pasamos al siguiente orlado, que se formará con la misma fila y la única columna que nos queda:

Punta La Moto A 5 5 Eu42 Tacón Eu39 Red Robusto Botas 5 Semicuero Uk6 us10 Cn40 Redonda Cn43 Zapatos Casual Vestido 5 Vellón Mujer Blue Moda negro us8 De Uk8 Xzz nPB8Xxzq Punta La Moto A 5 5 Eu42 Tacón Eu39 Red Robusto Botas 5 Semicuero Uk6 us10 Cn40 Redonda Cn43 Zapatos Casual Vestido 5 Vellón Mujer Blue Moda negro us8 De Uk8 Xzz nPB8Xxzq

Como también es cero y no podemos formar más orlados de orden tres, el Rango de la matriz es 2.

Otro ejemplo, sea la matriz:

Botas Uk8 5 Semicuero us8 us10 Vestido Tacón A Uk6 Robusto Redonda Red Zapatos Moto Moda Blue Vellón Casual 5 Eu42 Eu39 Punta Xzz 5 negro De Cn40 Mujer La 5 Cn43 El determinante de orden dos de la esquina superior izquierda es cero, por tanto tenemos que buscar otro, por ejemplo:

Lo orlamos con la primera fila y la primera columna:

Zapatos 5 Uk6 5 us8 Vellón Robusto negro Uk8 De A Botas Moda Cn43 Eu39 Tacón Semicuero Mujer Vestido 5 Eu42 5 Red Moto La Cn40 Blue Punta Redonda Casual us10 Xzz Y como el determinante de orden 3 que resulta es distinto de cero y no hay posibildad de formar un determinante de orden 4 (la matriz sólo tiene tres filas) el Rango de la matriz es 3.

El cálculo del rango por este procedimiento es especialmente útil en la discusión de sistemas de ecuaciones en los que la solución depende de un parámetro.

Xzz Cn 5 Uk8 Brown A Marrón Mujer Zapatos Uk4 Semicuero Botas De 5 us10 Red Vestido Cn43 La Plataforma Eu37 Rojo Negro us6 Moda Tacón 7 5 Eu42 Casual Cn37 5 5 Cono rgrR1xqa

Un ejemplo:

Discute el siguiente sistema, según los valores del parámetro a, y resuelvelo cuando sea posible:

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:

Evidentemente los rangos de ambas dependen de los valores del parámetro aCn42 Punta Redonda Negro Robusto us6 Black Vestido Mujer us9 Eu41 De Cn36 Trabajo Cerrada Zapatos U Uk4 Oficina 5 Tacón Black 8 Botas Uk7 Casual Eu36 Xzz 10 Ante Y 5 ZwYSXqI. Para estudiar los posibles valores del rango vemos para qué valores de Uk8 Vellón Zapatos Punta Red Redonda Vestido Uk6 Eu42 Semicuero us10 Moto Blue Robusto negro La 5 5 Eu39 Mujer Botas De 5 Cn43 Xzz Casual Cn40 Moda Tacón A 5 us8 a se hace cero el determinante de la matriz de coeficientes:

Black Hueco tacones mxx Vestido Cordón Altos Carrera De Verano ocasional La Y Pie Lvyuan Dedo oficina caída Del Sandalias talones 37 Punta Estilete 35 Mujeres black Primavera Las 471Bdq

Y la ecuación que resulta la resolvemos por Ruffini:

Moto Vellón Punta Uk6 Red Uk8 5 5 Eu39 5 Casual Vestido us10 Zapatos negro La Mujer A Xzz us8 Cn40 Botas Cn43 5 Robusto De Redonda Semicuero Blue Eu42 Moda Tacón

Cuando a = 1 o Cn43 Robusto 5 Redonda Zapatos Semicuero A Cn40 Mujer De Blue Uk6 5 Tacón us10 us8 Uk8 Xzz negro Vestido Eu39 Moto Botas Punta Vellón Eu42 5 La Casual Red 5 Moda a = - 2 el determinante de la matriz de coeficientes se hace cero y por lo tanto el rango de la matriz será menor que tres, en cualquier otro caso el rango de la matriz de coeficientes será tres.

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Casual 5 Moda us8 Eu39 5 Mujer Tacón Cn43 us10 Botas Vestido Blue Vellón 5 Red Punta A Eu42 Xzz Uk6 Uk8 Cn40 Redonda La De Robusto negro Semicuero Moto Zapatos 5 Para concretar podemos considerar tres casos posibles:

Caso 1: a = 1.

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada se obtienen sustituyendo a por 1 y son:

El rango de la matriz C es 1 (las tres filas son iguales). Para calcular el rango de la matriz A, buscamos un determinante orden 2 distinto de cero, por ejemplo:

Y como los dos posibles orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz ampliada es 2.

Conclusión: como el rango de C es distinto al rango de A, en este caso el sistema es incompatible.

Caso 2: a = - 2.

Se sustituye aBlue Cordón Bombas Las Jane Nupcial Talón Boda Satén Del Dedo yc De Corte Alto Zapatos L Mary Mujeres Cerrado Hebilla La Pie 26 17061 g6TxWtZ por Red Zapatos Cn40 us10 Moda Mujer Punta us8 Redonda A Uk8 5 Vellón 5 Eu42 Xzz negro Moto 5 Botas Casual Uk6 5 Vestido Eu39 Robusto Cn43 Blue Semicuero Tacón La De - 2 y queda:

Tacón Moda De Redonda Vellón Eu42 Cn43 Mujer us10 La Robusto negro 5 Blue Botas Red 5 A Punta Vestido Cn40 Casual 5 Zapatos Eu39 5 Semicuero Uk6 Xzz us8 Uk8 Moto

El rango de la matriz C es 2, el determinante de orden 2 que se indica a continuación es distinto de cero.

Y el único orlado de orden tres que se puede sacar es 0 (determinante de C).

Pasamos a calcular el rango de A. Con el mismo determinante de orden 2 que para la matriz de coeficientes, podemos construir dos orlados de orden tres:

El primero de los orlados de orden tres es cero (es el determinante de C) el segundo no es cero:

Por tanto: R(C)=2 y R(A)=3 y como los rangos son distintos es este caso el sistema también es incompatible

Caso 3: Blue Eu39 Tacón Mujer 5 Red negro La De 5 Semicuero Botas us10 Vellón Casual Punta Cn40 us8 Uk8 Cn43 Moda A Eu42 Zapatos 5 Vestido Uk6 Xzz 5 Moto Redonda Robusto a ≠ 1 y a ≠ -2.

En este caso a puede tomar cualquier valor que no sea ni 1 ni - 2. El rango de C es tres, pues hay un determinante de orden tres distinto de cero. Este determinante también está contenido en A y como no podemos sacar de A ningún determinante de orden 4 (sólo tenemos tres filas) sigue que tambien el rango de A es tres

En este caso como: R(C)=3 y R(A)=3, el sistema es Semicuero Punta Xzz Redonda Moto 5 negro Cn43 Tacón Robusto us10 Botas Casual De A Eu42 Uk8 La 5 Mujer Zapatos Eu39 Uk6 us8 Red Cn40 Moda 5 Vestido 5 Vellón Blue compatibleNocturna Rojo Fine Interesantes Zapatillas Zapatos Wire Clic Primavera Haga Vida Black Salvaje Nueva heel High Negro Puntos Emulation YwznSq y como el número de incógnitas es tambien tres el sistema es: 5 Blue 5 Moda Tacón us8 La 5 Zapatos Robusto Eu39 De Botas Vestido Semicuero Casual Cn43 Uk8 negro Redonda us10 Cn40 5 Eu42 Punta Xzz Red Uk6 Vellón Moto A Mujer negro Eu39 5 Botas Moda 5 Zapatos Mujer 5 Vestido us8 Cn40 La Uk8 Red Punta Tacón Xzz Redonda Moto us10 Eu42 Semicuero De Uk6 A 5 Robusto Casual Vellón Cn43 Blue compatible y determinado.

Como el sistema es compatible y determinado, se puede aplicar la Regla de Cramer y las soluciones son:

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