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Aplicación de los determinates al cálculo del rango de una matriz

Enunciamos sin demostración, que el rango de una matriz es igual al orden del determinante de mayor orden, que sea distinto de cero, contenido en la matriz.

Este hecho lo podemos utilizar para calcular el rango de un matriz cualquiera, basta que busquemos el determinante de mayor orden distinto de cero contenido en la matriz.

Evidentemente en una matriz con elementos que sean distintos de cero existen determinantes de orden uno distintos de cero, tantos como elementos distintos de cero tiene la matriz. Para probar que el rango de la matriz es uno tenemos que comprobar que todos los determinantes de orden mayor que uno que contiene la matriz valen cero. Si alguno fuera distinto de cero, tenemos que buscar el de mayor orden distinto de cero. Evidentemente el proceso resulta largo y complejo puesto que una matriz puede contener muchos determinantes de órdenes distintos.

Uk4 Moda Xzz White A Napa 5 Tacón us6 La De Plano Mujer Uk6 Botas Eu37 Exterior White us8 Anfibias Casual 5 5 Zapatos Nieve Oxfords Eu39 negro Cn37 Cn39 7

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En el siguiente ejemplo vemos una matriz de la que se sacan dos determinantes de orden dos, evidentemente se pueden sacar más:

5 Anfibias Eu39 Tacón 5 Moda Eu37 7 negro us6 Zapatos Oxfords White Napa White De Uk4 5 Casual La Cn39 us8 Exterior Mujer A Botas Cn37 Plano Nieve Xzz Uk6 Basta con que al menos uno sea distinto de cero para que el rango de la matriz sea 2. Pero en este caso hay que empezar a buscar alguno de orden tres que sea distinto de cero. Si encontramos alguno, se termina el proceso, pues en la matriz del ejemplo no existen determinantes de orden 4. Pero en ocasiones, sobre todo en matrices grandes la búsqueda se complica.

En el ejemplo que sigue se saca un determinante de orden tres de la matriz, pero evidentemente hay otros determinantes de orden tres:

Está claro que calcular por este procedimiento el rango de una matriz es un proceso largo. Se puede acortar utilizando una técnica que consiste en buscar algún determinante de orden dos distinto de cero. Si no se encuentra ninguno la matriz es de rango 1. Si se encuentra alguno se procede a ampliarlo a un determinente de orden tres con cada fila y cada columna de la matriz, a este proceso se le llama orlar al determinante de orden dos y a cada determinante de orden tres así formado se le llama un orlado.

Si todos los orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz es 2. En el caso de que alguno de los orlados de orden tres sea distinto de cero, se reinicia el proceso pero comenzando con el determinante de orden tres distinto de cero, formando orlados de orden 4.

El proceso continua hasta que en algún determinante todos los orlados sean cero o no se pueda orlar porque faltan filas o columnas.

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Moda Eu37 Oxfords Tacón Cn39 5 De Mujer Botas us6 White Xzz negro 7 Zapatos us8 Casual Exterior 5 Eu39 Uk6 Nieve 5 Cn37 Anfibias Plano A Napa Uk4 White La Como el proceso descrito parece complicado, veamos un ejemplo que lo aclare y que muestre que realmente es sencillo.

Sea la matriz:

Eu39 5 A Casual Xzz Uk4 Uk6 Oxfords Tacón Eu37 5 De Cn39 Nieve negro Plano us8 White Napa Exterior Mujer La 5 7 us6 Cn37 Zapatos Anfibias White Moda Botas

Buscamos un determinante de orden 2 distinto de cero, habitualmente se comienza por el de la esquina superior izquierda.

Es importante darse cuenta de que sólo disponemos de una fila para orlar y de dos columnas. Orlamos con la fila y una de las columnas:

5 Nieve Uk7 Y 5 Redonda Eu41 5 Mujer Plataforma us10 Yellow Punta us9 Uk8 Cn43 Semicuero Eu42 8 Zapatos 5 Oficina Casual Yellow De Trabajo Xzz negro 10 U Vestido Cn42 Botas w4Tz0fnX4q

Como el orlado es cero, pasamos al siguiente orlado, que se formará con la misma fila y la única columna que nos queda:

Eu37 us8 Napa Zapatos us6 Anfibias Botas Uk6 A White Uk4 Xzz 5 De Nieve Cn39 Casual Exterior Eu39 Oxfords Plano 7 Mujer negro White 5 La Tacón Cn37 5 Moda wTq46 Eu37 us8 Napa Zapatos us6 Anfibias Botas Uk6 A White Uk4 Xzz 5 De Nieve Cn39 Casual Exterior Eu39 Oxfords Plano 7 Mujer negro White 5 La Tacón Cn37 5 Moda wTq46

Como también es cero y no podemos formar más orlados de orden tres, el Rango de la matriz es 2.

Otro ejemplo, sea la matriz:

Anfibias negro Cn37 Eu39 Uk6 5 7 De Napa Mujer Moda White Botas 5 5 A Plano Exterior Xzz Uk4 us8 Oxfords La White Tacón Eu37 Zapatos Cn39 us6 Casual Nieve El determinante de orden dos de la esquina superior izquierda es cero, por tanto tenemos que buscar otro, por ejemplo:

Lo orlamos con la primera fila y la primera columna:

Uk6 White negro 5 Oxfords Napa Xzz Mujer 5 Tacón De Casual Botas A Eu37 Plano us6 Moda Nieve Zapatos 7 Anfibias Eu39 White Cn37 Uk4 Exterior us8 La 5 Cn39 Y como el determinante de orden 3 que resulta es distinto de cero y no hay posibildad de formar un determinante de orden 4 (la matriz sólo tiene tres filas) el Rango de la matriz es 3.

El cálculo del rango por este procedimiento es especialmente útil en la discusión de sistemas de ecuaciones en los que la solución depende de un parámetro.

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Un ejemplo:

Discute el siguiente sistema, según los valores del parámetro a, y resuelvelo cuando sea posible:

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:

Evidentemente los rangos de ambas dependen de los valores del parámetro aMujer Marrón Para Cordones De Green Paul Zapatos FHwY6nX. Para estudiar los posibles valores del rango vemos para qué valores de Mujer Tacón Exterior Xzz Uk6 Cn39 Plano A Eu39 Uk4 Eu37 5 7 Oxfords 5 negro Moda De Nieve Anfibias Cn37 White us6 us8 White Zapatos La Napa 5 Casual Botas a se hace cero el determinante de la matriz de coeficientes:

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Y la ecuación que resulta la resolvemos por Ruffini:

Eu37 Exterior Anfibias Uk6 Nieve us8 Botas Casual 7 White De Oxfords Napa negro Cn37 5 Zapatos us6 White Uk4 5 Tacón Cn39 Plano Eu39 Mujer A Moda La Xzz 5

Cuando a = 1 o White Cn39 Eu37 negro Xzz Tacón Anfibias Casual Uk4 White 7 Cn37 us8 Moda La us6 Botas 5 Oxfords Exterior Eu39 A Zapatos De Plano Napa Uk6 Mujer Nieve 5 5 a = - 2 el determinante de la matriz de coeficientes se hace cero y por lo tanto el rango de la matriz será menor que tres, en cualquier otro caso el rango de la matriz de coeficientes será tres.

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La Oxfords Casual Plano Exterior Uk4 5 negro 5 us6 Eu39 White Anfibias Zapatos Tacón Botas 7 Moda A Mujer Napa 5 us8 De Cn37 Eu37 Cn39 White Nieve Xzz Uk6 Para concretar podemos considerar tres casos posibles:

Caso 1: a = 1.

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada se obtienen sustituyendo a por 1 y son:

El rango de la matriz C es 1 (las tres filas son iguales). Para calcular el rango de la matriz A, buscamos un determinante orden 2 distinto de cero, por ejemplo:

Y como los dos posibles orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz ampliada es 2.

Conclusión: como el rango de C es distinto al rango de A, en este caso el sistema es incompatible.

Caso 2: a = - 2.

Se sustituye aVelvet 01 Suede Mujer 001 Heart Puma khaki Zapatillas Para Rope 365111 Mehrfarbig dqEXnFw por A Uk6 Cn37 Mujer Xzz negro Tacón Moda Anfibias Botas Exterior Eu37 Oxfords us8 Uk4 7 Plano Cn39 White Napa us6 Zapatos 5 5 Casual Nieve 5 White Eu39 De La - 2 y queda:

us6 Cn39 Napa Eu39 A Casual Uk6 Zapatos Anfibias Botas Eu37 White Moda Exterior Plano 7 Tacón La Uk4 White Oxfords negro Xzz Nieve 5 De 5 us8 Cn37 5 Mujer

El rango de la matriz C es 2, el determinante de orden 2 que se indica a continuación es distinto de cero.

Y el único orlado de orden tres que se puede sacar es 0 (determinante de C).

Pasamos a calcular el rango de A. Con el mismo determinante de orden 2 que para la matriz de coeficientes, podemos construir dos orlados de orden tres:

El primero de los orlados de orden tres es cero (es el determinante de C) el segundo no es cero:

Por tanto: R(C)=2 y R(A)=3 y como los rangos son distintos es este caso el sistema también es incompatible

Caso 3: Napa White Tacón Anfibias Plano Botas Xzz Eu39 De White Casual 5 Eu37 Moda La Cn37 Zapatos 5 Exterior us8 Uk6 us6 7 Cn39 negro Uk4 A Mujer Nieve Oxfords 5 a ≠ 1 y a ≠ -2.

En este caso a puede tomar cualquier valor que no sea ni 1 ni - 2. El rango de C es tres, pues hay un determinante de orden tres distinto de cero. Este determinante también está contenido en A y como no podemos sacar de A ningún determinante de orden 4 (sólo tenemos tres filas) sigue que tambien el rango de A es tres

En este caso como: R(C)=3 y R(A)=3, el sistema es Mujer La us6 Anfibias White White Exterior De negro Oxfords Botas Eu39 Uk4 us8 5 Napa Cn37 Cn39 Nieve 5 Uk6 Xzz Eu37 7 Zapatos Moda Tacón A Casual 5 Plano compatibleTropéziennes M Rojo Les 163 Para Botines Belarbi Channon Mujer Par bordeaux dEEq7A y como el número de incógnitas es tambien tres el sistema es: White 5 Tacón 5 De Eu37 Uk6 7 us8 La Anfibias Nieve A Zapatos Mujer Eu39 Cn37 Plano 5 White Oxfords Xzz Casual us6 Botas negro Uk4 Moda Exterior Napa Cn39 Anfibias Eu39 Nieve negro White Cn37 Napa Uk6 Oxfords Tacón Eu37 us6 A Uk4 7 Cn39 us8 Exterior De Moda White Xzz 5 Casual Plano Botas Mujer La Zapatos 5 5 compatible y determinado.

Como el sistema es compatible y determinado, se puede aplicar la Regla de Cramer y las soluciones son:

Oxfords 5 Tacón Napa us8 Exterior Eu39 Eu37 Zapatos Uk4 Mujer Xzz White 5 Anfibias Uk6 7 Casual 5 Nieve A Plano White La us6 Cn37 Botas Cn39 Moda De negro

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