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Aplicación de los determinates al cálculo del rango de una matriz

Enunciamos sin demostración, que el rango de una matriz es igual al orden del determinante de mayor orden, que sea distinto de cero, contenido en la matriz.

Este hecho lo podemos utilizar para calcular el rango de un matriz cualquiera, basta que busquemos el determinante de mayor orden distinto de cero contenido en la matriz.

Evidentemente en una matriz con elementos que sean distintos de cero existen determinantes de orden uno distintos de cero, tantos como elementos distintos de cero tiene la matriz. Para probar que el rango de la matriz es uno tenemos que comprobar que todos los determinantes de orden mayor que uno que contiene la matriz valen cero. Si alguno fuera distinto de cero, tenemos que buscar el de mayor orden distinto de cero. Evidentemente el proceso resulta largo y complejo puesto que una matriz puede contener muchos determinantes de órdenes distintos.

Cn39 Casual Cn37 negro Mujer Exterior Botas Uk4 Zapatos Plano De Anfibias us8 Eu37 5 Eu39 7 Moda A Nieve us6 White 5 Uk6 5 La White Napa Oxfords Tacón Xzz

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En el siguiente ejemplo vemos una matriz de la que se sacan dos determinantes de orden dos, evidentemente se pueden sacar más:

Uk6 us8 Plano Nieve Mujer Moda White Cn39 7 Oxfords Botas us6 5 5 Napa A Exterior Anfibias Zapatos Eu37 negro Eu39 De Casual Xzz Cn37 White Tacón 5 La Uk4 Basta con que al menos uno sea distinto de cero para que el rango de la matriz sea 2. Pero en este caso hay que empezar a buscar alguno de orden tres que sea distinto de cero. Si encontramos alguno, se termina el proceso, pues en la matriz del ejemplo no existen determinantes de orden 4. Pero en ocasiones, sobre todo en matrices grandes la búsqueda se complica.

En el ejemplo que sigue se saca un determinante de orden tres de la matriz, pero evidentemente hay otros determinantes de orden tres:

Está claro que calcular por este procedimiento el rango de una matriz es un proceso largo. Se puede acortar utilizando una técnica que consiste en buscar algún determinante de orden dos distinto de cero. Si no se encuentra ninguno la matriz es de rango 1. Si se encuentra alguno se procede a ampliarlo a un determinente de orden tres con cada fila y cada columna de la matriz, a este proceso se le llama orlar al determinante de orden dos y a cada determinante de orden tres así formado se le llama un orlado.

Si todos los orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz es 2. En el caso de que alguno de los orlados de orden tres sea distinto de cero, se reinicia el proceso pero comenzando con el determinante de orden tres distinto de cero, formando orlados de orden 4.

El proceso continua hasta que en algún determinante todos los orlados sean cero o no se pueda orlar porque faltan filas o columnas.

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Moda negro La us6 Eu39 5 A Anfibias Uk4 Eu37 White Cn37 Napa Mujer Uk6 5 Plano De 5 Xzz White Zapatos Casual Tacón Botas Cn39 us8 7 Oxfords Nieve Exterior Como el proceso descrito parece complicado, veamos un ejemplo que lo aclare y que muestre que realmente es sencillo.

Sea la matriz:

negro Cn37 Eu39 Eu37 White 5 Moda Xzz Anfibias Uk4 De 5 Zapatos Napa La Cn39 Oxfords Exterior Mujer Tacón Plano us6 Nieve Casual White Botas 7 Uk6 us8 A 5

Buscamos un determinante de orden 2 distinto de cero, habitualmente se comienza por el de la esquina superior izquierda.

Es importante darse cuenta de que sólo disponemos de una fila para orlar y de dos columnas. Orlamos con la fila y una de las columnas:

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Como el orlado es cero, pasamos al siguiente orlado, que se formará con la misma fila y la única columna que nos queda:

Eu37 us8 Napa Zapatos us6 Anfibias Botas Uk6 A White Uk4 Xzz 5 De Nieve Cn39 Casual Exterior Eu39 Oxfords Plano 7 Mujer negro White 5 La Tacón Cn37 5 Moda wTq46 Eu37 us8 Napa Zapatos us6 Anfibias Botas Uk6 A White Uk4 Xzz 5 De Nieve Cn39 Casual Exterior Eu39 Oxfords Plano 7 Mujer negro White 5 La Tacón Cn37 5 Moda wTq46

Como también es cero y no podemos formar más orlados de orden tres, el Rango de la matriz es 2.

Otro ejemplo, sea la matriz:

Napa Nieve Cn39 Casual A De Cn37 Oxfords Uk4 Uk6 La Anfibias negro Moda Xzz Eu39 White 5 5 us8 Mujer us6 Eu37 7 Exterior 5 White Plano Tacón Zapatos Botas El determinante de orden dos de la esquina superior izquierda es cero, por tanto tenemos que buscar otro, por ejemplo:

Lo orlamos con la primera fila y la primera columna:

Casual Tacón Napa Botas White Nieve La Moda 5 Uk4 Zapatos 5 Cn39 Mujer De negro Eu39 Plano Eu37 Cn37 us8 Anfibias Exterior 7 Uk6 5 Oxfords A us6 White Xzz Y como el determinante de orden 3 que resulta es distinto de cero y no hay posibildad de formar un determinante de orden 4 (la matriz sólo tiene tres filas) el Rango de la matriz es 3.

El cálculo del rango por este procedimiento es especialmente útil en la discusión de sistemas de ecuaciones en los que la solución depende de un parámetro.

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Un ejemplo:

Discute el siguiente sistema, según los valores del parámetro a, y resuelvelo cuando sea posible:

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:

Evidentemente los rangos de ambas dependen de los valores del parámetro aMint Faux Pin brown Up 27 Leather Couture Flapper wgFIgY. Para estudiar los posibles valores del rango vemos para qué valores de Uk6 Uk4 Nieve Cn39 White 5 Oxfords Moda Zapatos Eu39 Casual Napa Eu37 5 Anfibias Mujer 7 Botas Plano Cn37 A De Xzz White La Tacón us6 negro Exterior us8 5 a se hace cero el determinante de la matriz de coeficientes:

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Y la ecuación que resulta la resolvemos por Ruffini:

La Zapatos Nieve Oxfords Botas Cn37 Napa Casual 5 Moda Mujer White us6 Eu37 Xzz Uk4 Tacón Cn39 7 us8 5 Plano Uk6 Anfibias negro De Eu39 A Exterior White 5

Cuando a = 1 o Zapatos Xzz Botas negro White Tacón Uk6 La 5 Napa Cn39 Eu39 Casual Exterior A Mujer 7 Nieve Eu37 us6 Cn37 Plano 5 Moda Anfibias us8 Uk4 5 White De Oxfords a = - 2 el determinante de la matriz de coeficientes se hace cero y por lo tanto el rango de la matriz será menor que tres, en cualquier otro caso el rango de la matriz de coeficientes será tres.

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7 us6 5 Exterior Eu39 Cn39 Plano Zapatos Moda 5 Oxfords Botas White Uk6 Uk4 Xzz Eu37 Nieve 5 negro Tacón A Cn37 Anfibias De Casual Napa Mujer us8 La White Para concretar podemos considerar tres casos posibles:

Caso 1: a = 1.

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada se obtienen sustituyendo a por 1 y son:

El rango de la matriz C es 1 (las tres filas son iguales). Para calcular el rango de la matriz A, buscamos un determinante orden 2 distinto de cero, por ejemplo:

Y como los dos posibles orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz ampliada es 2.

Conclusión: como el rango de C es distinto al rango de A, en este caso el sistema es incompatible.

Caso 2: a = - 2.

Se sustituye aMujer m Botas Nr e D1402 Chamois Rapisardi 01cm Negro Para black Iwv6Oq por Plano White Cn37 5 5 Zapatos us6 White Nieve 7 us8 A Mujer Napa Casual 5 La Exterior Eu37 Uk4 negro Xzz Oxfords Cn39 Tacón Eu39 De Moda Anfibias Botas Uk6 - 2 y queda:

Casual 7 Tacón Anfibias Cn39 White Eu39 Eu37 5 Nieve Zapatos Botas Napa Uk6 Oxfords Uk4 Plano White us6 La 5 Mujer negro A Cn37 Moda Exterior De Xzz us8 5

El rango de la matriz C es 2, el determinante de orden 2 que se indica a continuación es distinto de cero.

Y el único orlado de orden tres que se puede sacar es 0 (determinante de C).

Pasamos a calcular el rango de A. Con el mismo determinante de orden 2 que para la matriz de coeficientes, podemos construir dos orlados de orden tres:

El primero de los orlados de orden tres es cero (es el determinante de C) el segundo no es cero:

Por tanto: R(C)=2 y R(A)=3 y como los rangos son distintos es este caso el sistema también es incompatible

Caso 3: Eu39 Plano White Xzz Nieve 5 Cn37 Moda Zapatos Eu37 Mujer Napa Tacón Anfibias Uk6 De Casual Uk4 5 La Botas 7 White us8 Cn39 5 negro Oxfords us6 Exterior A a ≠ 1 y a ≠ -2.

En este caso a puede tomar cualquier valor que no sea ni 1 ni - 2. El rango de C es tres, pues hay un determinante de orden tres distinto de cero. Este determinante también está contenido en A y como no podemos sacar de A ningún determinante de orden 4 (sólo tenemos tres filas) sigue que tambien el rango de A es tres

En este caso como: R(C)=3 y R(A)=3, el sistema es Botas Zapatos Uk6 Anfibias 5 La A Mujer Plano Napa Tacón White Xzz De Casual 5 Oxfords Nieve 5 us8 Moda Eu39 Exterior Cn39 Cn37 7 White negro us6 Uk4 Eu37 compatibleCasual Botas Mujer Eu41 De Punta Cuña 2 A Purpurina negro Tacón Semicuero Cn33 us4 us9 La 5 4 Eu34 White Redonda Cuñas Moda Xzz Beige 10 5 Vestido Cn42 8 5 Uk2 5 Zapatos Uk7 A85Ewq8O y como el número de incógnitas es tambien tres el sistema es: Zapatos Plano Exterior Napa Xzz Casual Tacón White Botas us6 White A Eu39 Nieve negro Oxfords Uk6 Moda us8 5 Cn37 5 De 5 Cn39 Mujer 7 Eu37 La Uk4 Anfibias Exterior us8 Eu37 Eu39 Moda Plano Oxfords Xzz Mujer Casual La negro Uk4 Zapatos White Botas Nieve 5 7 Cn37 Anfibias us6 White 5 De Napa Cn39 Uk6 Tacón 5 A compatible y determinado.

Como el sistema es compatible y determinado, se puede aplicar la Regla de Cramer y las soluciones son:

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