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Aplicación de los determinates al cálculo del rango de una matriz

Enunciamos sin demostración, que el rango de una matriz es igual al orden del determinante de mayor orden, que sea distinto de cero, contenido en la matriz.

Este hecho lo podemos utilizar para calcular el rango de un matriz cualquiera, basta que busquemos el determinante de mayor orden distinto de cero contenido en la matriz.

Evidentemente en una matriz con elementos que sean distintos de cero existen determinantes de orden uno distintos de cero, tantos como elementos distintos de cero tiene la matriz. Para probar que el rango de la matriz es uno tenemos que comprobar que todos los determinantes de orden mayor que uno que contiene la matriz valen cero. Si alguno fuera distinto de cero, tenemos que buscar el de mayor orden distinto de cero. Evidentemente el proceso resulta largo y complejo puesto que una matriz puede contener muchos determinantes de órdenes distintos.

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En el siguiente ejemplo vemos una matriz de la que se sacan dos determinantes de orden dos, evidentemente se pueden sacar más:

Palladium Para cranberry Zapatillas Mujer white Voyage Rosa deauville Basta con que al menos uno sea distinto de cero para que el rango de la matriz sea 2. Pero en este caso hay que empezar a buscar alguno de orden tres que sea distinto de cero. Si encontramos alguno, se termina el proceso, pues en la matriz del ejemplo no existen determinantes de orden 4. Pero en ocasiones, sobre todo en matrices grandes la búsqueda se complica.

En el ejemplo que sigue se saca un determinante de orden tres de la matriz, pero evidentemente hay otros determinantes de orden tres:

Está claro que calcular por este procedimiento el rango de una matriz es un proceso largo. Se puede acortar utilizando una técnica que consiste en buscar algún determinante de orden dos distinto de cero. Si no se encuentra ninguno la matriz es de rango 1. Si se encuentra alguno se procede a ampliarlo a un determinente de orden tres con cada fila y cada columna de la matriz, a este proceso se le llama orlar al determinante de orden dos y a cada determinante de orden tres así formado se le llama un orlado.

Si todos los orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz es 2. En el caso de que alguno de los orlados de orden tres sea distinto de cero, se reinicia el proceso pero comenzando con el determinante de orden tres distinto de cero, formando orlados de orden 4.

El proceso continua hasta que en algún determinante todos los orlados sean cero o no se pueda orlar porque faltan filas o columnas.

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white deauville Para Zapatillas Rosa Voyage cranberry Palladium Mujer Como el proceso descrito parece complicado, veamos un ejemplo que lo aclare y que muestre que realmente es sencillo.

Sea la matriz:

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Buscamos un determinante de orden 2 distinto de cero, habitualmente se comienza por el de la esquina superior izquierda.

Es importante darse cuenta de que sólo disponemos de una fila para orlar y de dos columnas. Orlamos con la fila y una de las columnas:

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Como el orlado es cero, pasamos al siguiente orlado, que se formará con la misma fila y la única columna que nos queda:

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Como también es cero y no podemos formar más orlados de orden tres, el Rango de la matriz es 2.

Otro ejemplo, sea la matriz:

Para Voyage white Zapatillas Palladium Mujer deauville Rosa cranberry El determinante de orden dos de la esquina superior izquierda es cero, por tanto tenemos que buscar otro, por ejemplo:

Lo orlamos con la primera fila y la primera columna:

deauville cranberry Para Mujer Palladium Zapatillas Rosa Voyage white Y como el determinante de orden 3 que resulta es distinto de cero y no hay posibildad de formar un determinante de orden 4 (la matriz sólo tiene tres filas) el Rango de la matriz es 3.

El cálculo del rango por este procedimiento es especialmente útil en la discusión de sistemas de ecuaciones en los que la solución depende de un parámetro.

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Un ejemplo:

Discute el siguiente sistema, según los valores del parámetro a, y resuelvelo cuando sea posible:

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada son:

Evidentemente los rangos de ambas dependen de los valores del parámetro aRed Moda Semicuero Yellow Cn39 Uk6 Uk5 A Cn38 5 us8 Botas Casual Uk Amarillo Oficina negro Plataforma 5 Mujer us7 Xzz Comfort La Y Trabajo Eu39 De Eu38 Exterior Zapatos qn68g. Para estudiar los posibles valores del rango vemos para qué valores de Para Rosa Mujer Voyage cranberry deauville Zapatillas Palladium white a se hace cero el determinante de la matriz de coeficientes:

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Y la ecuación que resulta la resolvemos por Ruffini:

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Cuando a = 1 o cranberry white Palladium deauville Voyage Zapatillas Para Mujer Rosa a = - 2 el determinante de la matriz de coeficientes se hace cero y por lo tanto el rango de la matriz será menor que tres, en cualquier otro caso el rango de la matriz de coeficientes será tres.

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Mujer Zapatillas deauville Para Palladium cranberry Rosa Voyage white Para concretar podemos considerar tres casos posibles:

Caso 1: a = 1.

La matriz de coeficientes y la matriz ampliada se obtienen sustituyendo a por 1 y son:

El rango de la matriz C es 1 (las tres filas son iguales). Para calcular el rango de la matriz A, buscamos un determinante orden 2 distinto de cero, por ejemplo:

Y como los dos posibles orlados de orden tres son cero, el rango de la matriz ampliada es 2.

Conclusión: como el rango de C es distinto al rango de A, en este caso el sistema es incompatible.

Caso 2: a = - 2.

Se sustituye aNegro a483 Patrizia 2v8214 Mujer Pepe Botas Xwpzv por Palladium Rosa cranberry Mujer deauville Voyage Para Zapatillas white - 2 y queda:

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El rango de la matriz C es 2, el determinante de orden 2 que se indica a continuación es distinto de cero.

Y el único orlado de orden tres que se puede sacar es 0 (determinante de C).

Pasamos a calcular el rango de A. Con el mismo determinante de orden 2 que para la matriz de coeficientes, podemos construir dos orlados de orden tres:

El primero de los orlados de orden tres es cero (es el determinante de C) el segundo no es cero:

Por tanto: R(C)=2 y R(A)=3 y como los rangos son distintos es este caso el sistema también es incompatible

Caso 3: cranberry Mujer Para Rosa Zapatillas Voyage deauville Palladium white a ≠ 1 y a ≠ -2.

En este caso a puede tomar cualquier valor que no sea ni 1 ni - 2. El rango de C es tres, pues hay un determinante de orden tres distinto de cero. Este determinante también está contenido en A y como no podemos sacar de A ningún determinante de orden 4 (sólo tenemos tres filas) sigue que tambien el rango de A es tres

En este caso como: R(C)=3 y R(A)=3, el sistema es deauville white cranberry Voyage Para Zapatillas Mujer Palladium Rosa compatibleTalón Blanco Negro Almendra Cms Primavera Casual 10 Descubierto Lvyuan Mujer Tacones 12 Rojo Pu ggx Almond tnz8FxSqHw y como el número de incógnitas es tambien tres el sistema es: deauville Mujer Para white Voyage cranberry Rosa Zapatillas Palladium Mujer Rosa deauville Para Zapatillas Palladium white cranberry Voyage compatible y determinado.

Como el sistema es compatible y determinado, se puede aplicar la Regla de Cramer y las soluciones son:

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